Secondes -- Mathématiques
- Cette partie du site est à destination des élèves de seconde générale et technologique. Vous trouverez ici, chapitre par chapitre, tous les documents utiles pour cette année.
Racines carrées
Points du programme officiel traités dans ce chapitre
| Point du programme (BO) | Où le retrouver |
|---|---|
| Règles de calcul sur les racines carrées | Cours, Exercices |
| Relation √(a²) = |a| | Exercices |
| Démonstration : pour tous réels positifs a et b, √(ab) = √a × √b | Cours |
| Effectuer des calculs numériques mettant en jeu des racines carrées | Cours, Exercices |
Cours
Le cours part de la définition de la racine carrée, établit ses règles de calcul, puis présente les trois méthodes de calcul à maîtriser : extraire un carré parfait, réduire une somme de racines carrées et développer une expression qui en contient.
- 1. Définition. La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a. Tableau des racines des carrés parfaits jusqu'à √169, et pourquoi la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
- 2. Propriétés. √a × √b = √(ab), √a / √b = √(a/b), (√a)² = a, √(a²). Attention : √a + √b ≠ √(a + b). Deux démonstrations rédigées : √a × √b = √(ab) et √a + √b > √(a + b).
- 3. Extraire un carré parfait. Écrire √N sous la forme a√b avec b le plus petit possible (exemples : √72, √45, 3√125).
- 4. Simplifier les écritures. Réduire une somme de racines carrées, directement ou après extraction de carrés parfaits.
- 5. Racines carrées et développements. Développer et réduire une expression contenant des racines carrées.
Exercices
La feuille contient six exercices, regroupés en trois parties, à faire sans calculatrice.
1. Calculs avec les racines carrées
- Exercice 1 — Effectuer des calculs sans calculatrice. √4, (√11)², √((−6)²), √(5⁴) : appliquer directement la définition.
- Exercice 2 — Déterminer des valeurs exactes. Comparer √(169 × 144), √169 − √144 et √(169 − 144) : on voit qu'on ne peut pas « couper » une racine carrée sur une somme ou une différence.
2. Écriture des racines carrées
- Exercice 3 — Écrire sous la forme √a. Produits, quotients et 4√3 à écrire sous la forme √a avec a entier.
- Exercice 4 — Écrire sous la forme a√b. √50, √200, √147, √54 : extraire le plus grand carré parfait.
3. Racines carrées et géométrie
- Exercice 5 — Les dimensions d'une pièce rectangulaire. Retrouver la longueur et la largeur d'une pièce à partir de son aire.
- Exercice 6 — Racines carrées, Pythagore et Thalès. Calculer des longueurs exactes, démontrer qu'un triangle est rectangle, puis utiliser le théorème de Thalès.