Secondes -- Mathématiques
- Cette partie du site est à destination des élèves de seconde générale et technologique. Vous trouverez ici, chapitre par chapitre, tous les documents utiles pour cette année.
Les vecteurs du plan (première partie)
Points du programme officiel traités dans ce chapitre
Cette première partie travaille les vecteurs sans coordonnées, sur des figures et des quadrillages. Les coordonnées, la norme, la colinéarité et le déterminant seront traités dans la seconde partie du chapitre.
| Point du programme (BO) | Où le retrouver |
|---|---|
| Translation, somme de deux vecteurs et relation de Chasles -- rappels du cycle 4 | Activités, Cours, Exercices |
| Égalité de deux vecteurs | Cours, Exercices |
| Notation u -- vecteur nul -- représentants d'un vecteur | Cours, Exercices |
| Représenter la somme de deux vecteurs à partir de représentants de même origine | Cours, Exercices |
| Produit d'un vecteur par un nombre réel | Cours, Exercices |
| Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment | Cours, Exercices |
Cours
Le cours est organisé en deux parties : la définition d'un vecteur à partir des translations, puis les opérations sur les vecteurs, traitées sur des figures. La caractérisation de l'égalité de deux vecteurs par le parallélogramme y est démontrée.
- 1. Définition et caractérisation géométrique. Translation et vecteur, égalité de deux vecteurs (même direction, même sens, même norme), notation u et représentants, vecteur nul et vecteur opposé. Caractérisation par le parallélogramme : AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme (avec démonstration — attention à l'ordre des lettres). Caractérisation vectorielle du milieu.
- 2. Opérations sur les vecteurs. Somme de deux vecteurs comme enchaînement de deux translations, relation de Chasles, méthode pour construire une somme, règle du parallélogramme, différence de deux vecteurs. Produit d'un vecteur par un réel : direction, sens et norme de ku.
Activités et exercices
La feuille suit l'ordre du cours : deux activités de découverte et treize exercices, de difficulté croissante. Le détail permet de repérer directement l'exercice qui correspond à ce que vous cherchez à travailler.
1. Découvrir la notion de vecteur
- Activité — Découvrir la notion de vecteur. Translations, déplacements, forces, coordonnées sur un quadrillage, carte météo : on dégage ce qui caractérise un vecteur (direction, sens, longueur).
2. Égalité de vecteurs
- Exercice 1 — Égalité de vecteurs. Pour cinq couples de vecteurs tracés sur un quadrillage, comparer direction, norme et sens, puis dire s'ils sont égaux.
- Exercice 2 — Démonstration. Démontrer dans les deux sens que AB = CD équivaut à « ABDC est un parallélogramme ».
3. Vecteurs et translations
- Exercice 3 — Lire et utiliser des vecteurs sur un quadrillage. Repérer des vecteurs opposés, égaux, de même direction ; placer les images de points par des translations.
4. Somme de vecteurs
- Activité — Somme de vecteurs. Enchaîner des translations sur un quadrillage de points pour découvrir la somme de deux vecteurs.
- Exercice 4 — Petit récapitulatif. Repérer et expliquer les erreurs dans des extraits de copies d'élèves (notations, ordre des lettres dans un parallélogramme, milieux).
- Exercice 5 — Représenter des sommes de vecteurs. Construire des sommes et une différence de vecteurs « bout à bout » sur un quadrillage.
- Exercice 6 — Simplifier des sommes de vecteurs. Sur une figure formée de parallélogrammes, remplacer des vecteurs par des vecteurs égaux puis appliquer la relation de Chasles.
5. Produit d'un vecteur par un réel
- Exercice 7 — Multiplication d'un vecteur par un nombre. Tracer 2CD, −3FE et ⅓AB.
6. Constructions et automatismes
- Exercices 8 et 9 — Constructions sans coordonnées. Dans un triangle ABC, construire des points définis par des sommes, des différences et des multiples de vecteurs.
7. Révisions
- Exercice 10 — Construire des points. Quatre points définis à partir d'un triangle : Chasles, règle du parallélogramme, différence.
- Exercice 11 — Combinaisons de vecteurs. Tracer un représentant de 2u + v et de u − 3v.
- Exercice 12 — Simplifier. Réordonner les termes d'une somme pour appliquer la relation de Chasles.
- Exercice 13 — Construire des sommes. Construire deux sommes de vecteurs à partir de points donnés.