Secondes -- Mathématiques
- Cette partie du site est à destination des élèves de seconde générale et technologique. Vous trouverez ici, chapitre par chapitre, tous les documents utiles pour cette année.
Équations du premier degré et identités remarquables
Points du programme officiel traités dans ce chapitre
| Point du programme (BO) | Où le retrouver |
|---|---|
| Ensemble des solutions d'une équation du premier degré (du type ax = b, a + x = b, ax + b = cx + d) | Cours (partie 1), Fiche, Exercices sur les équations |
| Modéliser un problème par une équation -- résoudre des problèmes se ramenant au premier degré | Cours (partie 1), Exercices sur les équations (ex. 1 et 3), Exercices sur les identités remarquables (ex. 1) |
| Automatisme -- Développer, factoriser, réduire une expression algébrique simple : identités remarquables (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), factorisation de ax² + bx et de ax + bx | Cours (partie 2), Fiche, Exercices sur les identités remarquables (activité, ex. 2 à 9) |
| Choisir la forme la plus adaptée (factorisée, développée réduite) d'une expression en vue de la résolution d'un problème | Cours (parties 2 et 3), Exercices sur les identités remarquables (ex. 7, 10 et 12) |
| Équation produit nul A(x)B(x) = 0 | Cours (partie 3), Fiche, Exercices sur les identités remarquables (ex. 7 et 12) |
| Calcul sur des expressions algébriques, en particulier fractionnaires | Exercices sur les identités remarquables (ex. 11) |
Cours
Le cours est organisé en trois parties : la résolution des équations du premier degré et la mise en équation, puis le développement et la factorisation, et enfin la résolution d'équations qui ne sont pas du premier degré grâce à la factorisation. La fiche de cours reprend sur une page les formules et les méthodes à connaître.
- 1. Résolution d'équations du premier degré. Équation, solution, équation du premier degré. Règles de transformation d'une égalité, méthode pour résoudre une équation du premier degré, puis méthode pour résoudre un problème par une mise en équation.
- 2. Développer et factoriser. Vocabulaire et distributivité, les trois identités remarquables, puis les méthodes pour développer avec une identité remarquable et pour factoriser (avec un facteur commun ou avec une identité remarquable).
- 3. Résoudre une équation en factorisant. Équation produit nul, et méthode pour résoudre une équation qui n'est pas du premier degré en se ramenant à un produit nul.
Activités et exercices
La première feuille (trois exercices) porte sur les équations du premier degré. La seconde contient une activité de découverte et douze exercices, de la mise en équation jusqu'à un exercice de synthèse. Le détail permet de repérer directement l'exercice qui correspond à ce que vous cherchez à travailler.
1. Équations du premier degré
- Exercice 1 — Programme de calcul. Appliquer un programme de calcul à un nombre inconnu x, puis trouver le nombre qui donne le même résultat avec deux programmes différents.
- Exercice 2 — Résolution d'équations. Une série d'équations du premier degré, des plus simples (x − 3 = 0, 2x = 7) aux plus complètes.
- Exercice 3 — Inscription sur une pierre tombale. L'épitaphe de Diophante : mettre le problème en équation pour retrouver l'âge auquel il est mort.
2. Mettre un problème en équation
- Exercice 1 — Deux problèmes à résoudre. Les côtés d'un triangle isocèle, puis le prix de vente de chemises démodées.
3. Découvrir les identités remarquables
- Activité — Identités remarquables. Exprimer de deux façons l'aire d'un carré découpé pour découvrir les formules.
4. Développer et factoriser
- Exercice 2 — Premiers développements (automatismes). Associer les expressions égales pour tout nombre x.
- Exercice 3 — Premiers programmes (initiative). Deux programmes de calcul qui semblent donner toujours le même résultat : le démontrer.
- Exercice 4 — Toutes les formules dans les deux sens (automatismes). Compléter un tableau en développant et en factorisant avec les identités remarquables.
- Exercice 5 — Pour aller plus loin. Trouver la forme développée de (a + b + c)².
- Exercice 6 — Exercice technique. Développer puis factoriser, en parallèle, à l'aide des identités remarquables.
- Exercice 7 — Enclos. Un enclos de 27 m² avec 12 m de grillage : se ramener à une équation produit nul.
- Exercice 8 — Différence de deux carrés. Factoriser en reconnaissant a² − b².
- Exercice 9 — Factoriser avec une identité remarquable. Reconnaître (a + b)² et (a − b)², même quand les termes sont dans le désordre.
- Exercice 10 — Triangle rectangle. Le théorème de Pythagore et une factorisation pour exprimer AB².
- Exercice 11 — Écrire sous la forme d'une seule fraction. Réduire au même dénominateur des expressions fractionnaires.
5. Exercice de synthèse
- Exercice 12 — Des intermittents du spectacle. L'aire d'un quadrilatère inscrit dans un rectangle : trouver son expression, puis résoudre une équation grâce à une factorisation.