Terminales Spécialités Mathématiques
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Vecteurs, Base de l'Espace
| Contenu | Capacités attendues |
|---|---|
| Vecteurs de l'espace, translation | Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs |
| Combinaison linéaire de vecteurs de l'espace | Exploiter une figure pour exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs |
| Droite de l'espace, vecteur directeur, vecteurs colinéaires | Décrire la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans |
| Caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur | Lire sur une figure si deux ou trois vecteurs forment une base |
| Plan de l'espace, direction d'un plan de l'espace | Lire sur une figure la décomposition d'un vecteur dans une base |
| Caractérisation d'un plan par un point et un couple de vecteurs non colinéaires | Étudier géométriquement des problèmes de configuration dans l'espace |
| Base, repère de l'espace, décomposition d'un vecteur sur une base |
Cours
Le cours est organisé en six parties : les vecteurs de l'espace et leurs combinaisons linéaires, les droites et les plans, les positions relatives, les bases et repères de l'espace, une partie entièrement consacrée à l'étude de la coplanarité par résolution d'un système, et un bilan. Toutes les démonstrations et les méthodes du programme y figurent, avec leurs corrections rédigées.
- 1. Vecteurs de l'espace. Notion de vecteur et de translation, combinaison linéaire de vecteurs. Deux méthodes : représenter une combinaison linéaire sur un cube, et exprimer un vecteur comme combinaison linéaire à partir d'une figure.
- 2. Droites et plans de l'espace. Vecteur directeur d'une droite, direction d'un plan, caractérisation d'un point du plan par AM = x u + y v, et la méthode pour démontrer que deux plans sont parallèles. Les deux démonstrations du programme sont rédigées.
- 3. Positions relatives. Deux droites (coplanaires ou non), deux plans, une droite et un plan : toutes les configurations sont illustrées par des figures, et reprises sur un cube.
- 4. Bases et repères de l'espace. Vecteurs coplanaires, décomposition unique dans une base (avec démonstration), repère et coordonnées. Méthodes : reconnaître une base, démontrer un alignement, lire des coordonnées, démontrer que quatre points sont coplanaires.
- 5. Coplanarité et résolution de système. La partie « calcul » du chapitre : traduction de la coplanarité en système de trois équations à deux inconnues, résolution par substitution puis par combinaison (le même système est traité par les deux méthodes), et le cas où le système n'a pas de solution.
- 6. Bilan. Récapitulatif des notions et des méthodes du chapitre.
Exercices
La feuille contient dix exercices, regroupés en quatre parties de difficulté croissante. Le détail permet de repérer directement l'exercice qui correspond à ce que vous cherchez à travailler.
1. Vecteurs et base de l'espace
- Exercice 1 — Sommes de vecteurs dans un cube. Quatre questions sur le cube ABCDEFGH : démontrer une égalité vectorielle avec la relation de Chasles, puis identifier le point ou le vecteur défini par une somme (AB + AE + FI = AM, AG + HE + FB + u = 0, AJ + MB = KB). Premier contact avec le repère (A ; AB, AD, AE).
- Exercice 2 — Décomposition dans une base et coordonnées. Le cube et les huit milieux de ses arêtes : décomposer cinq vecteurs dans la base (HE, HG, HD), en déduire les coordonnées de trois points dans le repère d'origine H, puis celles d'un milieu. Attention à l'ordre des coordonnées, qui est celui de la base.
- Exercice 3 — Placer des points et calculer des coordonnées. Cube d'arête 1 : placer trois points donnés par leurs coordonnées — dont un situé hors du cube — puis calculer les coordonnées de AB, EG, AB + EG et 3(AB + EG).
- Exercice 4 — Trois vecteurs sont-ils coplanaires ? u(−3 ; 5 ; 4), v(2 ; −3 ; 1) et w(5 ; −2 ; 3) : premier exercice de coplanarité par résolution de système. On cherche a et b tels que u = a v + b w ; la vérification dans la troisième équation échoue.
2. Colinéarité et coplanarité
- Exercice 5 — Un point défini par une relation vectorielle. I est le milieu de [HF] et M vérifie 2 IM = MA : déterminer les coordonnées de M, puis démontrer que E, M et C sont alignés. Le passage d'une égalité vectorielle à un système de trois équations.
- Exercice 6 — Coplanarité de quatre points et position relative. Cinq points donnés par leurs coordonnées : montrer que A, B et C ne sont pas alignés, que A, B, C et D sont coplanaires, que (DE) et (BC) sont parallèles, et en déduire que (DE) est incluse dans le plan (ABC). L'exercice le plus complet de la feuille, très proche d'un sujet de bac.
3. Coplanarité et base de l'espace
- Exercice 7 — Exercices de coplanarité. Trois systèmes à résoudre à la suite : deux triplets coplanaires et un qui ne l'est pas. De quoi automatiser la méthode « résoudre avec deux équations, puis vérifier dans la troisième ».
- Exercice 8 — Exercice de recherche. u = −3 i + 4 j − k et v = i + a j + b k : déterminer a et b pour que les deux vecteurs soient colinéaires. Les inconnues sont cette fois dans les coordonnées, et non dans les coefficients.
- Exercice 9 — Trois vecteurs forment-ils une base de l'espace ? u = i + j + 3k, v = −i + 2k et w = 2i + j : montrer que le système n'admet pas de solution, donc que les vecteurs ne sont pas coplanaires et forment une base de l'espace.
4. Vers le supérieur
- Exercice 10 — Une base de l'espace des polynômes de degré au plus 2. À chaque fonction polynôme ax² + bx + c on associe le vecteur de coordonnées (a ; b ; c). Montrer que les vecteurs associés à x² + x + 1, x² − x + 1 et x² forment une base, puis décomposer f(x) = 2x² + x − 1 dans cette base. Un premier contact avec la notion d'espace vectoriel, telle qu'elle est traitée dans le supérieur.
Entrainement
Quatre exercices sur 20 points, pour une durée d'une heure. Il reprend exactement les méthodes travaillées dans la feuille d'exercices : à traiter en conditions de devoir, la correction n'étant consultée qu'ensuite.
- Exercice 1 — Décomposition dans une base (5 points). Le cube et les milieux de ses arêtes : décomposer cinq vecteurs dans la base (HE, HG, HD), en déduire des coordonnées de points, puis celles d'un milieu.
- Exercice 2 — Coplanarité et position relative (7 points). Quatre points donnés par leurs coordonnées : alignement, coplanarité par résolution d'un système, parallélisme de deux droites, puis position relative d'une droite et d'un plan.
- Exercice 3 — Trois vecteurs coplanaires ? (3 points). Un système à résoudre, dont la vérification dans la dernière équation échoue : les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.
- Exercice 4 — Alignement de trois points (5 points). S et T sont définis par AS = 3 AC et AT = 3⁄2 AE : exprimer SG et ST en fonction de AC et AE, puis en déduire que S, T et G sont alignés. Un exercice entièrement vectoriel, sans coordonnées.