Terminales Spécialités Mathématiques
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Récurrence
| Contenu | Capacités attendues |
|---|---|
| Démonstration par récurrence | Démontrer par récurrence une propriété sur les suites |
| Inégalité de Bernoulli (avec démonstration) | Etudier les variations d’une suite |
| Sens de variation d’une suite |
Cours
Exercices
La feuille contient une activité de découverte et quatorze exercices, regroupés en cinq parties. Le détail permet de repérer directement l'exercice qui correspond à ce que vous cherchez à travailler.
1. Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques
- Exercice 1 — Reconnaître la nature d'une suite. Neuf suites, données soit par une formule explicite, soit par une relation de récurrence : dire pour chacune si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, en précisant le premier terme et la raison.
- Exercice 2 — Suite auxiliaire arithmétique. u0 = 1 et un+1 = un / (1 + un). Calculer les cinq premiers termes, conjecturer le terme général, puis montrer que vn = 1/un est arithmétique pour démontrer la conjecture.
- Exercice 3 — Suite auxiliaire géométrique. u0 = 3 et un+1 = ⅓ un + 4. Montrer que vn = un − 6 est géométrique, puis en déduire l'expression de un.
- Exercice 4 — Suite auxiliaire géométrique (bis). u0 = 1 et un+1 = ½ un + n − 1. Même méthode avec vn = 4un − 8n + 24 : un cas où la suite auxiliaire dépend aussi de n.
2. Activité : découverte du raisonnement par récurrence
- Activité — Conjecturer puis démontrer. u0 = 1 et un+1 = un + 2n + 3. Calculer u1, u2, u3, u4, reconnaître des carrés parfaits, conjecturer un = (n+1)², puis démontrer. C'est l'exemple sur lequel s'appuie le cours.
3. Raisonnement par récurrence
- Exercice 5 — Expression explicite d'une suite. u0 = 1 et un+1 = −2un + 9 : démontrer par récurrence que un = (−2)n+1 + 3. Une récurrence guidée, pour s'entraîner à la rédaction.
- Exercice 6 — Conjecturer puis démontrer. u0 = 0 et un+1 = √(4 + un²) : calculer les premiers termes, conjecturer un = 2√n, puis le démontrer.
- Exercice 7 — Une minoration. u0 = 2 et un+1 = ⅕ un + 3 × 0,5n : démontrer que un ≥ (15/4) × 0,5n à partir du rang 1. Une récurrence sur une inégalité, et l'occasion de voir pourquoi l'initialisation ne peut pas se faire au rang 0.
- Exercice 8 — Sommes et inégalité. Trois récurrences classiques, à savoir refaire : 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2 ; 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n+1) = (n+1)² ; et 5n ≥ 4n + 3n pour n ≥ 2.
4. Récurrence, dérivation et monotonie
- Exercice 9 — D'après BAC 2021, Métropole. u0 = 1 et un+1 = (5un + 4) / (un + 2). Étudier d'abord le sens de variation de f(x) = (5x + 4)/(x + 2) par la dérivée, puis démontrer par récurrence que 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 4. Un exercice de type bac, qui combine dérivation et récurrence.
5. Sommes de termes consécutifs
- Exercice 10 — Suite arithmétique. Raison 2 et u0 = −3 : calculer u6 + ⋯ + u25, puis exprimer Sn = u0 + ⋯ + un en fonction de n.
- Exercice 11 — Suite géométrique. Raison ½ et u0 = 2 : même travail avec u4 + ⋯ + u13, puis Sn.
- Exercice 12 — Suite « mixte ». un = −4n + 1 + 2n : calculer Sn en séparant la somme en trois sommes connues.
6. Exercices finaux
- Exercice 13 — Inégalité de Bernoulli. Démontrer que (1 + a)n ≥ 1 + na pour tout réel a ≥ 0 et tout entier naturel n. Démonstration exigible au baccalauréat.
- Exercice 14 — Monotonie d'une suite. u0 = 2 et un+1 = (un + 1)/2 : démontrer par récurrence que la suite est décroissante.
La feuille supplémentaire est consacrée uniquement au raisonnement par récurrence : treize exercices de difficulté progressive, regroupés en quatre parties.
1. Démontrer la forme explicite d'une suite
- Exercice 1 — Premier pas. u0 = 3 et un+1 = 2un − 1 : démontrer que un = 2n+1 + 1. La récurrence la plus simple de la feuille, pour se caler sur la rédaction attendue.
- Exercice 2 — Une suite arithmético-géométrique. u0 = 5 et un+1 = ½ un + 3 : démontrer que un = 6 − (½)n.
- Exercice 3 — Une suite à termes fractionnaires. u0 = 1 et un+1 = un / (1 + 2un) : démontrer que un = 1 / (2n + 1). Une hérédité qui demande de manipuler des fractions étagées.
- Exercice 4 — Une forme explicite mixte. u0 = 1 et un+1 = 2un + n : démontrer que un = 2n+1 − n − 1. La formule explicite mêle cette fois une partie géométrique et une partie affine.
2. Majorations et minorations
- Exercice 5 — Une majoration. u0 = 0 et un+1 = ½ un + 3 : démontrer que 0 ≤ un ≤ 6. Première récurrence portant sur un encadrement : on multiplie puis on ajoute, sans changer le sens des inégalités.
- Exercice 6 — Une minoration par une suite géométrique. u0 = 1 et un+1 = 3un + n : démontrer que un ≥ 3n.
- Exercice 7 — Une inégalité à partir d'un certain rang. Démontrer que 2n ≥ n² pour tout n ≥ 4. L'inégalité est fausse pour n = 3 : l'occasion de voir pourquoi le rang initial ne se choisit pas au hasard.
- Exercice 8 — Un encadrement. u0 = 1 et un+1 = √(3un + 4) : démontrer que 1 ≤ un ≤ 4, en s'appuyant sur la croissance de la fonction racine carrée.
3. Utiliser la croissance d'une fonction
- Exercice 9 — Une suite homographique. u0 = 0 et un+1 = (4un + 3) / (un + 2). Montrer d'abord, par la dérivée, que f(x) = (4x + 3)/(x + 2) est croissante, puis démontrer que 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 3. C'est le schéma type des exercices de bac.
- Exercice 10 — Une suite définie par une racine carrée. Même méthode avec f(x) = √(2x + 3) et u0 = 0 : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 3.
- Exercice 11 — Une suite décroissante. u0 = 6 et un+1 = 6un / (un + 2) : démontrer que 4 ≤ un+1 ≤ un ≤ 6. La fonction f reste croissante : c'est l'initialisation qui décide du sens de variation de la suite.
4. Pour aller plus loin
- Exercice 12 — Deux sommes classiques. 1² + 2² + ⋯ + n² = n(n+1)(2n+1)/6, puis 1/(1×2) + 1/(2×3) + ⋯ + 1/(n(n+1)) = n/(n+1).
- Exercice 13 — Récurrence et hérédité : un contre-exemple. La propriété 3n ≥ 4n + 5 est héréditaire dès le rang 1, et pourtant fausse aux rangs 1 et 2. Un exercice pour comprendre à quoi sert vraiment l'initialisation.